Kedveskéim!

Kezdeném azzal, hogy írásom tekinthető a matematika és a pedagógiai pszichológia egyfajta coitus interruptusának is, a trehány formázásért pedig előre is bocs. Szóval egyenlet-hack.

Amíg ZH valahol kurválkodik, - jobb esetben pedig toborozza a beígért jogász és pszichológus kollégákat a stábunkba - addig előtúrok nektek egy olyan témát, ami ugyan nem tartozik blogunk fő profiljához, úgy gondolom, mégis érdekelhet benneteket, mint a tömeges népszivatás egy különösen kifinomult módja. Ha mégsem, akkor tekintsétek egyszerűen érdekességnek.

Ahogy szinte minden középiskolai tantárgyban, a matematikában is lehet találni olyan feladatokat, amivel még azok is több-kevesebb ideig zavarba hozhatók, akik "nagyüzemileg", naponta hadakoznak a középiskolainál sokkal ütősebb tudományos feladatokkal. Az alábbiakban egy ilyen, másodikos gimnazistáknak szánt egyenletet fogok bemutatni. A feladat vitán felül szivatós jellege abból az egyszerű tényből adódik, hogy általában elvárjuk egy egyszerűnek tűnő matekfeladattól, hogy legyen megoldása. Noha tudjuk, hogy végtelen számú egyenlet lehetséges, aminek nincs megoldása, ezt konkrétan legalább háromféleképpen tudja a diák nem-megoldani úgy, hogy minden addig tanult algebrai és számelméleti összefüggést bevet a cél érdekében.

Szóval, ha matematika tanár vagy és úgy érzed, hogy jól megszivattak a kis görények, visszavágóként ezt a feladatot házi feladatként feladva szinte biztos, hogy az osztálynak legalább a kétharmad része elcsesz vele egy egész délutánt. Csak aztán ne felejtsd el a széttiport egójukat helyretenni néhány hülyebiztos tanórai egyenlettel a következő találkozáskor!

A cikk stabil középiskolai matematika tudással kényelmesen megérthető, több helyen az áttekinthetőség kedvéért ott is zárójeleztem, ahol egyébként nem szükséges. Ezen kívül próbáltam úgy fogalmazni, hogy azok számára is könnyen követhető legyen a levezetés, akik már jó ideje nem foglalkoztak matematikával.

Lássuk tehát a másodikos matematikai egyenletek pedagógiai cliffhangerét, amit egyenesen a Zöldikéből loptam!

Az egyenlet megoldásával kapcsolatban az egyetlen kikötés, hogy a racionális számok halmazán kell megoldani, valahogy így néz ki:



I.    Megoldás – a legelegánsabb, aki rájön, nem kevés tollat, papírt és időt spórolhat meg vele.

1.    Mivel a racionális számok halmazán dolgozunk, gyermeki naivitással feltételezzük, hogy egyik gyökjel alatti kifejezés sem tartalmaz negatív számot.
2.    Az első feltételezés mellett tudjuk, hogy két szám összege csak abban az esetben lehet nulla, ha mindkét szám, azaz mindként gyökjel alatt álló kifejezés értéke nulla. Ezért a két gyökjel alatti kifejezést elsőfokú egyenletnek tekintve megoldjuk és valami ilyesmit kapunk eredményül:

Az első:
x+2=0
x=-2

A második:
1-3x=0
1=3x
x=1/3
Mivel egyik sem nulla, ezért az egyenlet biztosan ellentmondásos, így a szivatós matekházi megoldása után a nebulónak marad ideje foglalkozni értelmes dolgokkal is.

II.    Megoldás – a stréber hülyegyerek módszere

Ha az egyenletet négyzetre emeljük alkalmazva azt az azonosságot, hogy két szám négyzetének összege egyenlő az első szám négyzetével plusz az első és második tag kétszeres szorzatával plusz a második tag négyzetével, - azaz röviden:


 
- egy még hülyébb formájú egyenlethez jutunk, ami aztán válogatott algebrai kínzások kiváló kiindulópontja. Rajta, emeljük négyzetre:












szorzást gyorsan el is végezzük mellékszámításként, hogy a gyökös kifejezések eltűnjenek az egyenletből:





Hoppá! Másodfokú kifejezést kaptunk, ami azt jelenti, hogy az x akár kétféle értéket is felvehet. Ennek ellenőrzésére a mellékszámításhoz még egy mellékszámítást kell végeznünk úgy, hogy a

formulát megoldjuk másodfokú egyenletként. Az áttekinthetőség kedvéért bevezetjük

ismeretleneket, ami ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásait fogják mutatni.

A másodfokú egyenletet a jó öreg megoldóképlettel oldjuk meg, ami már akkor is így nézett ki, amikor nagyapád érettségizett:



 
ahol az a négyzetes tagot jelenti, azaz -3, a b az elsőfokú tag együtthatója, azaz 2, a c pedig a konstans, azaz a 2.










A második megoldás hasonlóan, csak a megoldóképletnek megfelelően itt a gyök alatti értéket kivonjuk a számlálóban lévő –b értékből, majd természetesen azt osztjuk el 2*a-val. Azaz












Mind a két értéket visszahelyettesítjük az eredeti, rendezett egyenlet

részének helyére, ennek megfelelően úgy tűnik, hogy a feladatnak két különböző megoldása is lesz:














Az egyenlet megoldottnak tűnik, nosza ellenőrizzük azzal, hogy a jó öreg

egyenletbe behelyettesítve
  valóban teljesül-e az egyenlőség!















Hoppá! Már az általános iskola hetedik osztályában elmondta a tanárnéni, hogy negatív számból négyzetgyököt vonni nem csak hogy nem illik, hülyeség is, mert matematikai ellentmondáshoz vezet.

Utolsó reménységük ha megnézzük, hogy mi lesz az eredmény, ha x2=(5/6) –t helyettesítünk be, azaz

amiből egy kis vudu varázslat után ezt kapjuk:




Innen már nem is kellene tovább számolnunk, ha mégis, akkor egyértelműen látszik, hogy 1,683 + 0,408 = 0 ellentmondás, azaz szintén nem lehet az egyenlet megoldása.

III.    Megoldás – valószínűleg a legtöbben ezzel próbálkoznának a tollal és papírral takarékoskodó jelesmatekos és a stréber hülyegyerek megoldása helyett









Az egyenletet ellenőrizve -(1/4) behelyettesítésével:






Ami biztos, hogy a gyökvonást elvégezve 1,322 + 1,322 szintén nem egyenlő 0-val, így szintén egy gusztustalan ellentmondásról van szó.

Ennek a feladatnak a feldobása házi feladatként vagy dolgozatban persze nem csak arra jó, hogy meghackeld a diákjaid egóját, nagyon hasznos lehet utána összesíteni, hogy mennyien próbálkoztak a legelegánsabb, az átlagos és a stréber hülyegyerek megoldási módjával, és milyen sorrendben.